Exercices - Chapitre 4: Cryptographie quantique

import random
import numpy as np

def bb84_simulation(n_qubits, error_rate=0, eavesdropping=False):
    """
    Simule le protocole BB84 pour la distribution quantique de clés.
    
    Args:
        n_qubits (int): Nombre de qubits à transmettre
        error_rate (float): Taux d'erreur du canal (0-1)
        eavesdropping (bool): Si True, simule la présence d'un espion (Eve)
        
    Returns:
        tuple: (clé secrète partagée, taux d'erreur estimé, taille de la clé finale)
    """
    # Bases possibles: 0 pour base rectiligne (+), 1 pour base diagonale (×)
    # États possibles: 0 et 1 dans la base choisie
    
    # 1. Alice prépare des qubits aléatoires dans des bases aléatoires
    alice_bits = [random.randint(0, 1) for _ in range(n_qubits)]
    alice_bases = [random.randint(0, 1) for _ in range(n_qubits)]
    
    # 2. Alice envoie les qubits à Bob
    transmitted_qubits = alice_bits.copy()
    
    # 3. Simulation de l'espionnage par Eve (si activé)
    if eavesdropping:
        eve_bases = [random.randint(0, 1) for _ in range(n_qubits)]
        for i in range(n_qubits):
            # Eve mesure dans une base aléatoire
            if eve_bases[i] != alice_bases[i]:
                # Si Eve utilise la mauvaise base, la mesure perturbe l'état
                transmitted_qubits[i] = random.randint(0, 1)
    
    # 4. Simulation d'erreurs de transmission
    for i in range(n_qubits):
        if random.random() < error_rate:
            transmitted_qubits[i] = 1 - transmitted_qubits[i]  # Inversion du bit
    
    # 5. Bob choisit des bases aléatoires pour mesurer
    bob_bases = [random.randint(0, 1) for _ in range(n_qubits)]
    
    # 6. Bob mesure les qubits reçus
    bob_measurements = []
    for i in range(n_qubits):
        if bob_bases[i] == alice_bases[i]:
            # Si Bob utilise la même base qu'Alice, il obtient le même résultat
            # (sauf en cas d'erreur de transmission ou d'espionnage)
            bob_measurements.append(transmitted_qubits[i])
        else:
            # Si Bob utilise une base différente, il obtient un résultat aléatoire
            bob_measurements.append(random.randint(0, 1))
    
    # 7. Alice et Bob échangent leurs bases (canal public)
    matching_bases_indices = [i for i in range(n_qubits) if alice_bases[i] == bob_bases[i]]
    
    # 8. Alice et Bob gardent uniquement les bits où ils ont utilisé la même base
    alice_key = [alice_bits[i] for i in matching_bases_indices]
    bob_key = [bob_measurements[i] for i in matching_bases_indices]
    
    # 9. Estimation du taux d'erreur (QBER)
    # Dans une implémentation réelle, ils sacrifieraient une partie de la clé pour cela
    errors = sum(a != b for a, b in zip(alice_key, bob_key))
    error_estimation = errors / len(alice_key) if alice_key else 0
    
    # 10. En pratique, ils effectueraient ensuite:
    # - Réconciliation d'erreurs (correction d'erreurs)
    # - Amplification de confidentialité (réduction des informations d'Eve)
    # Mais pour cette simulation, nous simplifions en supposant ces étapes parfaites
    
    return alice_key, error_estimation, len(alice_key)

# Test du protocole sans espionnage
key, error_rate, key_length = bb84_simulation(1000)
print(f"Sans espionnage:")
print(f"Clé d'Alice (premiers 20 bits): {key[:20]}")
print(f"Longueur de la clé: {key_length} bits")
print(f"Taux d'erreur estimé: {error_rate:.2%}")

# Test du protocole avec espionnage
key, error_rate, key_length = bb84_simulation(1000, eavesdropping=True)
print(f"\nAvec espionnage:")
print(f"Clé d'Alice (premiers 20 bits): {key[:20]}")
print(f"Longueur de la clé: {key_length} bits")
print(f"Taux d'erreur estimé: {error_rate:.2%}")
                

Solution

Partie A : Mise en œuvre du protocole

Le code fourni simule correctement le protocole BB84 avec les étapes principales :

1. Alice génère des bits aléatoires et choisit aléatoirement des bases pour les encoder
2. Ces qubits sont transmis à Bob (avec potentiellement des erreurs ou de l'espionnage)
3. Bob mesure chaque qubit dans une base choisie aléatoirement
4. Alice et Bob échangent publiquement les bases utilisées (mais pas les valeurs)
5. Ils conservent uniquement les bits pour lesquels ils ont utilisé la même base
6. Ils estiment le taux d'erreur pour détecter un éventuel espionnage

Partie B : Analyse de sécurité

En exécutant le code plusieurs fois, on observe :

• Sans espionnage : Le taux d'erreur est généralement très faible (proche de 0%), résultant uniquement des erreurs de transmission simulées.
• Avec espionnage : Le taux d'erreur monte généralement à environ 25% (peut varier légèrement en raison de la nature aléatoire de la simulation).

Explication du taux d'erreur de 25% avec espionnage :

Lorsqu'Eve intercepte et mesure un qubit, elle doit choisir une base pour sa mesure :

• Dans 50% des cas, Eve choisit par hasard la même base qu'Alice, obtient la bonne valeur, et renvoie le bon qubit à Bob
• Dans 50% des cas, Eve choisit la mauvaise base. Sa mesure perturbe l'état du qubit, puis elle renvoie un qubit potentiellement incorrect à Bob

Ensuite, Bob mesure le qubit qu'il reçoit :

• Dans 50% des cas, Bob choisit la même base qu'Alice (c'est ce qui sera gardé pour la clé)
• Dans 50% des cas, Bob choisit une base différente (ces résultats sont écartés)

Considérons uniquement les cas où Alice et Bob utilisent la même base (ceux qui sont conservés pour la clé) :

• Si Eve a aussi utilisé cette base (50% des cas), il n'y a pas d'erreur
• Si Eve a utilisé l'autre base (50% des cas), il y a 50% de chances que Bob mesure un résultat erroné

Ainsi, parmi les bits conservés, environ 50% × 50% = 25% seront erronés en présence d'Eve.

Détection de l'espionnage :

Alice et Bob peuvent détecter la présence d'Eve en sacrifiant une partie de leur clé brute pour estimer le taux d'erreur (QBER - Quantum Bit Error Rate). Si ce taux est significativement supérieur au bruit de fond attendu (typiquement quelques %), ils peuvent conclure à la présence d'un espion et rejeter la clé comme compromise.

Partie C : Questions théoriques

1. Impossibilité de copier un qubit sans le perturber

Cette impossibilité est garantie par le théorème de non-clonage quantique, un principe fondamental de la mécanique quantique. Ce théorème stipule qu'il est impossible de créer une copie identique d'un état quantique inconnu tout en préservant l'état original.

Mathématiquement, il n'existe pas d'opérateur unitaire U qui puisse réaliser :

U(|ψ⟩ ⊗ |0⟩) = |ψ⟩ ⊗ |ψ⟩ pour tout état |ψ⟩.

Toute tentative de mesure ou d'interaction avec un qubit modifie son état (principe d'incertitude de Heisenberg), ce qui garantit que tout espionnage introduira des perturbations détectables.

2. Différence fondamentale avec les cryptosystèmes classiques

La différence fondamentale réside dans la nature de la sécurité :

• Cryptographie classique (ex. RSA) : La sécurité repose sur la difficulté computationnelle de résoudre certains problèmes mathématiques (factorisation de grands nombres pour RSA). Cette sécurité est conditionnelle - elle pourrait être compromise par des avancées algorithmiques ou des ordinateurs plus puissants (comme les ordinateurs quantiques).
• Cryptographie quantique (BB84) : La sécurité repose sur les lois fondamentales de la physique (non-clonage quantique, principe d'incertitude). Cette sécurité est inconditionnelle - même avec une puissance de calcul infinie, un attaquant ne peut pas obtenir d'information sans être détecté.

De plus, la cryptographie quantique permet de détecter la présence d'un espion, ce que la cryptographie classique ne peut généralement pas faire.

3. Limitations pratiques de la QKD

Les principales limitations pratiques incluent :

• Perte de photons : Les qubits photoniques sont facilement absorbés ou dispersés dans les fibres optiques, limitant la distance à environ 100-200 km sans relais
• Taux de génération de clés : Les systèmes actuels produisent des clés à des débits relativement faibles (kbps vs Mbps pour les systèmes classiques)
• Vulnérabilités d'implémentation : Les défauts dans le matériel physique peuvent créer des failles (attaques side-channel contre les détecteurs, etc.)
• Nécessité d'authentification classique : La QKD nécessite un canal classique authentifié pour fonctionner, créant une dépendance circulaire
• Coût et complexité : Les systèmes QKD nécessitent un équipement optique de précision coûteux et sensible
• Absence d'infrastructure de réseau : Contrairement à Internet, il n'existe pas encore d'infrastructure de réseau quantique globale

Ces limitations font que la QKD reste principalement utilisée pour des applications hautement sensibles et sur des distances limitées, souvent en complément des méthodes classiques.

Solution

Partie A : Analyse de l'algorithme

1. Impact sur RSA

La sécurité de RSA repose entièrement sur la difficulté de factoriser le produit de deux grands nombres premiers (n = p × q). La clé publique contient n, tandis que la clé privée nécessite la connaissance de p et q. Avec les algorithmes classiques, la factorisation d'un nombre RSA de 2048 bits nécessiterait des millions d'années avec les technologies actuelles.

L'algorithme de Shor permet théoriquement de réduire cette complexité de manière exponentielle, rendant la factorisation possible en temps polynomial sur un ordinateur quantique. Cela brise directement la sécurité de RSA en permettant de dériver la clé privée à partir de la clé publique.

2. Autres systèmes menacés

En plus de RSA, les systèmes suivants seraient compromis :

• DSA et ECDSA : Ces algorithmes de signature reposent sur le problème du logarithme discret, que l'algorithme de Shor peut résoudre efficacement.
• Diffie-Hellman (DH) : L'échange de clés DH repose également sur le problème du logarithme discret.
• Cryptographie sur les courbes elliptiques (ECC) : Repose sur le problème du logarithme discret sur les courbes elliptiques, également vulnérable à une variante de l'algorithme de Shor.
• ElGamal : Système de chiffrement basé sur le problème du logarithme discret.

En résumé, presque tous les systèmes cryptographiques à clé publique actuellement déployés seraient compromis, à l'exception de certains systèmes basés sur des réseaux, des codes correcteurs d'erreurs ou des systèmes multivariés.

3. Fonctionnement de l'algorithme de Shor

L'algorithme de Shor fonctionne en deux parties :

1. Réduction quantique : Il réduit d'abord le problème de factorisation à la recherche de la période d'une fonction modulaire f(x) = a^x mod n, où a est un nombre aléatoire et n est le nombre à factoriser.
2. Recherche de période : Il utilise ensuite un registre quantique et la Transformée de Fourier Quantique (QFT) pour trouver efficacement cette période.

La QFT joue un rôle crucial en permettant une sorte d'interférence quantique qui amplifie les fréquences correspondant à la période recherchée. C'est l'équivalent quantique de la transformée de Fourier rapide, mais qui peut être appliquée en parallèle sur toutes les valeurs possibles grâce à la superposition quantique.

La puissance de l'algorithme vient de sa capacité à exploiter le parallélisme quantique pour explorer simultanément un nombre exponentiel de valeurs, puis à extraire la période par interférence constructive des bonnes fréquences via la QFT.

Partie B : Évaluation de la menace

1. Qubits nécessaires pour différentes tailles de clés

Pour factoriser un nombre RSA de n bits avec l'algorithme de Shor, on estime qu'il faudrait approximativement :

• RSA-1024 : Environ 2048 qubits logiques (2 × 1024)
• RSA-2048 : Environ 4096 qubits logiques (2 × 2048)
• RSA-4096 : Environ 8192 qubits logiques (2 × 4096)

Cependant, en raison des erreurs quantiques, ces qubits logiques devraient être implémentés à l'aide de codes correcteurs d'erreurs quantiques, ce qui multiplierait le nombre de qubits physiques nécessaires. Avec les technologies actuelles, on estime qu'il faudrait entre 1 000 et 10 000 qubits physiques par qubit logique, ce qui signifie plusieurs millions de qubits physiques pour casser RSA-2048.

2. État actuel des ordinateurs quantiques

En 2025 :

• Nombre de qubits : Les ordinateurs quantiques les plus avancés disposent d'environ 100-1000 qubits physiques (IBM, Google, IonQ, etc.)
• Qualité des qubits : Les taux d'erreur restent élevés (10^-3 à 10^-4 par opération)
• Qubits logiques : Seuls quelques qubits logiques ont été démontrés avec correction d'erreur
• Factorisation : Les plus grands nombres factorisés avec l'algorithme de Shor restent très petits (21 = 3 × 7 ou jusqu'à des nombres à 2-3 chiffres)

La qualité et la quantité des qubits sont encore loin des niveaux requis pour menacer les systèmes cryptographiques réels.

3. Estimation du calendrier

Voici une estimation prudente basée sur les tendances actuelles :

• Court terme (5-10 ans) : Peu probable de voir des menaces significatives contre RSA-1024 ou supérieur. RSA-512 pourrait être vulnérable.
• Moyen terme (10-20 ans) : RSA-1024 pourrait devenir vulnérable. Début de menace potentielle pour RSA-2048.
• Long terme (20+ ans) : RSA-2048 probablement vulnérable, menace potentielle pour RSA-4096.

Cette estimation est basée sur :

• Les défis considérables restant à surmonter dans la correction d'erreurs quantiques
• Le fait que le nombre de qubits physiques ne croît pas aussi rapidement que prévu initialement
• Les défis d'ingénierie liés à la mise à l'échelle des systèmes quantiques

Cependant, des percées technologiques majeures pourraient accélérer ce calendrier, donc la prudence recommande de commencer la transition vers des algorithmes post-quantiques dès maintenant pour les systèmes critiques à long terme.

Partie C : Étude de cas

Stratégie pour protéger des données pendant 25+ ans

1. Court terme (0-5 ans)

• Algorithmes symétriques : Utiliser AES-256 pour le chiffrement symétrique (résistant aux attaques quantiques connues)
• Algorithmes asymétriques : Utiliser RSA-4096 ou ECC avec des courbes de 384/521 bits
• Fonctions de hachage : Utiliser SHA-384 ou SHA-512
• Actions immédiates :
  • Inventorier tous les systèmes cryptographiques utilisés
  • Concevoir les nouveaux systèmes avec une "agilité cryptographique" permettant de changer facilement d'algorithmes
  • Commencer à tester des algorithmes post-quantiques dans des environnements non critiques

2. Transition vers la cryptographie post-quantique

• Algorithmes recommandés :
  • Chiffrement/KEM : CRYSTALS-Kyber (basé sur les réseaux)
  • Signatures : CRYSTALS-Dilithium, FALCON ou SPHINCS+
  • Continuer à utiliser AES-256 pour le chiffrement symétrique
• Calendrier de mise en œuvre :
  • Années 1-2 : Expérimentation et tests dans des environnements contrôlés
  • Années 3-5 : Déploiement hybride (voir point 3 ci-dessous)
  • Années 5-10 : Migration complète vers des solutions post-quantiques pour les systèmes critiques
  • Années 10+ : Migration complète de tous les systèmes

3. Gestion de la rétrocompatibilité

• Approche hybride : Utiliser une combinaison d'algorithmes classiques et post-quantiques pendant la transition. Par exemple :
  • Pour la confidentialité : Chiffrer avec (AES-256 + clé dérivée de la combinaison d'un échange de clés classique ET post-quantique)
  • Pour l'authenticité : Signer avec à la fois un algorithme classique (RSA/ECDSA) ET un algorithme post-quantique (Dilithium)
• Mise à jour des protocoles :
  • Mettre à jour les protocoles réseau (TLS, SSH, etc.) pour supporter les suites cryptographiques hybrides
  • Implémenter des extensions pour les PKI existantes
• Gestion des systèmes hérités :
  • Identifier les systèmes qui ne peuvent pas être mis à jour
  • Isoler ces systèmes dans des segments réseau protégés
  • Mettre en place des proxys de sécurité pour les communications avec ces systèmes
• Documentation et formation :
  • Documenter toutes les étapes de transition
  • Former les équipes techniques aux nouveaux algorithmes et à leur implémentation
  • Sensibiliser les décideurs aux risques et aux coûts de la transition

Cette stratégie offre une approche équilibrée qui combine prudence (reconnaissance de la menace quantique) et pragmatisme (transition progressive). La sécurité est assurée à chaque étape, même pendant la période de transition, grâce à l'approche hybride.

# Note: Ce code est conceptuel, PyPQC n'est pas une bibliothèque réelle
# En pratique, on utiliserait liboqs, PQClean ou des bibliothèques similaires

from pypqc import kyber
import time
import os

def benchmark_kyber():
    # Tester les différents niveaux de sécurité de Kyber
    security_levels = [1, 3, 5]  # Correspond à Kyber512, Kyber768, Kyber1024
    
    results = {}
    
    for level in security_levels:
        print(f"Testing Kyber at security level {level}")
        start_time = time.time()
        
        # Générer une paire de clés
        key_gen_start = time.time()
        public_key, secret_key = kyber.keygen(level)
        key_gen_time = time.time() - key_gen_start
        
        # Message à chiffrer
        message = os.urandom(32)  # 256 bits
        
        # Chiffrer le message
        encrypt_start = time.time()
        ciphertext = kyber.encrypt(public_key, message, level)
        encrypt_time = time.time() - encrypt_start
        
        # Déchiffrer le message
        decrypt_start = time.time()
        decrypted = kyber.decrypt(secret_key, ciphertext, level)
        decrypt_time = time.time() - decrypt_start
        
        # Vérifier que le déchiffrement fonctionne
        assert message == decrypted, "Decryption failed!"
        
        total_time = time.time() - start_time
        
        # Collecter les résultats
        results[level] = {
            'public_key_size': len(public_key),
            'secret_key_size': len(secret_key),
            'ciphertext_size': len(ciphertext),
            'key_gen_time': key_gen_time,
            'encrypt_time': encrypt_time,
            'decrypt_time': decrypt_time,
            'total_time': total_time
        }
    
    # Afficher les résultats
    print("\nPerformance Comparison:")
    print("-" * 80)
    print(f"{'Security Level':<15} {'PK Size':<10} {'SK Size':<10} {'CT Size':<10} {'KeyGen (ms)':<12} {'Encrypt (ms)':<12} {'Decrypt (ms)':<12}")
    print("-" * 80)
    
    for level, data in results.items():
        print(f"Kyber-{512 * (2 if level == 5 else level)}".ljust(15), end="")
        print(f"{data['public_key_size']:<10}", end="")
        print(f"{data['secret_key_size']:<10}", end="")
        print(f"{data['ciphertext_size']:<10}", end="")
        print(f"{data['key_gen_time']*1000:<12.2f}", end="")
        print(f"{data['encrypt_time']*1000:<12.2f}", end="")
        print(f"{data['decrypt_time']*1000:<12.2f}")

# Exécuter le benchmark
benchmark_kyber()
                

Solution

Partie A : Familles d'algorithmes post-quantiques

1. Cryptographie basée sur les réseaux

Problème mathématique : Repose sur la difficulté de résoudre certains problèmes liés aux réseaux euclidiens, notamment le problème Learning With Errors (LWE) et ses variantes comme Ring-LWE ou Module-LWE.

Avantages :

• Bonnes performances (rapidité des opérations)
• Tailles de clés et de chiffrements relativement compactes
• Fondements théoriques solides et bien étudiés
• Grande flexibilité permettant de nombreuses constructions

Inconvénients :

• Complexité d'implémentation sécurisée (vulnérabilités potentielles aux attaques par canaux auxiliaires)
• Tailles de clés plus grandes que celles des courbes elliptiques (mais plus petites que d'autres alternatives PQ)

Exemple : CRYSTALS-Kyber, sélectionné par le NIST comme standard pour l'encapsulation de clés post-quantique.

2. Cryptographie basée sur les codes

Problème mathématique : Repose sur la difficulté du décodage par syndrome dans les codes correcteurs d'erreurs, principalement les codes de Goppa.

Avantages :

• Très étudiée et mature (proposée dès 1978 par McEliece)
• Confiance élevée dans la sécurité (a résisté à l'analyse cryptographique pendant plus de 40 ans)
• Chiffrement rapide

Inconvénients :

• Clés publiques très volumineuses (plusieurs centaines de Ko)
• Expansion du chiffrement (le texte chiffré est plus grand que le message clair)
• Déchiffrement plus lent que le chiffrement

Exemple : Classic McEliece, finaliste du processus NIST mais non sélectionné comme premier standard en raison de ses contraintes pratiques.

3. Cryptographie multivariate

Problème mathématique : Repose sur la difficulté de résoudre des systèmes d'équations quadratiques multivariées sur des corps finis.

Avantages :

• Signatures très rapides et de petite taille
• Vérification efficace
• Bien adaptée aux appareils à ressources limitées

Inconvénients :

• Clés publiques très volumineuses
• Historique d'attaques ayant brisé plusieurs schémas proposés (ex: Rainbow a été cassé après avoir été finaliste NIST)
• Principalement adaptée aux signatures, moins au chiffrement

Exemple : Rainbow, ancien finaliste NIST qui a été cassé, démontrant les risques de cette approche.

4. Cryptographie basée sur les isogénies

Problème mathématique : Repose sur la difficulté de trouver des isogénies (mappages spéciaux) entre courbes elliptiques supersingulières.

Avantages :

• Clés et chiffrements extrêmement compacts (les plus petits parmi les candidats PQ)
• Compatibilité structurelle avec les infrastructures existantes pour ECC

Inconvénients :

• Calculs lents (opérations complexes)
• Fondements mathématiques moins étudiés que d'autres approches
• Vulnérabilités récentes découvertes (SIKE a été cassé en 2022)

Exemple : SIKE (Supersingular Isogeny Key Encapsulation), qui était candidat au 4ème tour NIST mais a été cassé par une attaque mathématique inattendue.

5. Cryptographie basée sur les fonctions de hachage

Problème mathématique : Repose uniquement sur les propriétés des fonctions de hachage cryptographiques sans hypothèses mathématiques supplémentaires.

Avantages :

• Hypothèses de sécurité minimales et bien comprises
• Résistance aux attaques quantiques et classiques tant que les fonctions de hachage sous-jacentes restent sécurisées
• Mise en œuvre relativement simple

Inconvénients :

• Signatures volumineuses (plusieurs Ko)
• Génération de signatures relativement lente
• Compromis taille/vitesse difficile à optimiser

Exemple : SPHINCS+, sélectionné par le NIST comme standard alternatif pour les signatures numériques post-quantiques.

Partie B : Analyse comparative

1. Taille des clés et des signatures/chiffrements

Algorithme	Clé publique	Clé privée	Signature/Ciphertext
RSA-2048	~256 octets	~1 Ko	~256 octets (signature)
ECDSA P-256	32 octets	32 octets	64 octets (signature)
Kyber-768	~1.2 Ko	~2.4 Ko	~1 Ko (ciphertext)
Dilithium-3	~1.5 Ko	~4 Ko	~2.7 Ko (signature)
FALCON-512	~0.9 Ko	~1.3 Ko	~0.7 Ko (signature)
SPHINCS+-128	~32 octets	~64 octets	~8-16 Ko (signature)
Classic McEliece	~261 Ko	~6 Ko	~128 octets (ciphertext)

Observations principales :

• Les algorithmes PQ ont généralement des clés et signatures plus grandes que leurs homologues classiques
• SPHINCS+ a des clés très compactes mais des signatures énormes
• Classic McEliece a des clés publiques extrêmement volumineuses mais des chiffrements compacts
• Kyber et FALCON offrent le meilleur compromis global en termes de taille

2. Performance (vitesse d'exécution)

Performances relatives (du plus rapide au plus lent) :

1. Chiffrement/Vérification : ECDSA ≈ Kyber > Dilithium > RSA > FALCON > SPHINCS+ > McEliece
2. Déchiffrement/Signature : ECDSA > FALCON > Kyber > Dilithium > McEliece > RSA > SPHINCS+

Observations principales :

• Les courbes elliptiques (ECDSA) restent les plus performantes en général
• Kyber offre d'excellentes performances, proches de celles des courbes elliptiques
• SPHINCS+ est particulièrement lent pour la génération de signatures
• Les performances varient considérablement selon les plateformes, notamment sur les appareils à ressources limitées

3. Maturité et confiance dans la sécurité

Du plus mature/confiant au moins :

1. RSA : Très mature, étudié depuis plus de 40 ans, grande confiance (vulnérable aux attaques quantiques)
2. ECDSA : Mature, largement déployé et analysé (vulnérable aux attaques quantiques)
3. McEliece : Proposé en 1978, a résisté à l'analyse pendant des décennies
4. SPHINCS+ : Basé sur des hypothèses minimales (fonctions de hachage) bien comprises
5. Kyber/Dilithium : Basés sur des problèmes relativement bien étudiés mais moins matures que RSA/ECC
6. FALCON : Basé sur des problèmes similaires à Kyber/Dilithium mais avec des techniques plus complexes

Observations principales :

• Les algorithmes PQ sont intrinsèquement moins matures que les systèmes classiques
• La résistance aux attaques quantiques compense le manque relatif de maturité
• Le processus de standardisation du NIST a considérablement renforcé la confiance dans les finalistes
• Des surprises restent possibles, comme l'a montré la cryptanalyse réussie de SIKE et Rainbow

4. Facilité d'implémentation et résistance aux attaques par canaux auxiliaires

Du plus facile/résistant au moins :

1. RSA : Relativement simple à implémenter mais vulnérable à certaines attaques par canaux auxiliaires (timing)
2. SPHINCS+ : Implémentation relativement simple, bonne résistance naturelle aux canaux auxiliaires
3. Kyber : Complexité modérée, des contremesures connues pour les canaux auxiliaires
4. Dilithium : Similaire à Kyber mais avec quelques défis supplémentaires liés aux signatures
5. ECDSA : Implémentation délicate (arithmétique à précision variable), vulnérable aux fuites de bits de clé privée
6. FALCON : Très complexe (arithmétique à virgule flottante de précision variable), difficile à implémenter de manière constante
7. McEliece : Complexe en raison de la manipulation de grandes matrices et de la théorie des codes

Observations principales :

• Les implémentations constants-time (à temps d'exécution constant) sont cruciales pour tous ces algorithmes
• Les algorithmes basés sur les réseaux (Kyber, Dilithium) nécessitent des contremesures spécifiques contre les attaques par canaux auxiliaires
• FALCON est particulièrement difficile à implémenter de manière sécurisée en raison de ses opérations à virgule flottante
• SPHINCS+ bénéficie de sa simplicité conceptuelle (principalement des opérations de hachage)

Partie C : Implémentation expérimentale

Analyse du code

Le code fourni est un benchmark conceptuel pour l'algorithme Kyber à différents niveaux de sécurité. Il mesure :

1. Le temps de génération de clés pour chaque niveau de sécurité (Kyber512, Kyber768, Kyber1024)
2. Le temps de chiffrement d'un message aléatoire de 32 octets
3. Le temps de déchiffrement du message chiffré
4. La taille des clés publiques, des clés privées et des textes chiffrés

Le code effectue également une vérification fonctionnelle en s'assurant que le message déchiffré correspond au message original.

1. Différences entre les niveaux de sécurité de Kyber

Bien que le code soit conceptuel, voici les différences attendues entre les niveaux de sécurité de Kyber basées sur les spécifications réelles :

Propriété	Kyber-512	Kyber-768	Kyber-1024
Niveau de sécurité	AES-128 (~niveau 1 NIST)	AES-192 (~niveau 3 NIST)	AES-256 (~niveau 5 NIST)
Taille de clé publique	~800 octets	~1184 octets	~1568 octets
Taille de clé privée	~1632 octets	~2400 octets	~3168 octets
Taille du chiffrement	~768 octets	~1088 octets	~1568 octets
Temps de génération de clés	Base	~1.5x plus lent	~2x plus lent
Temps de chiffrement	Base	~1.5x plus lent	~2x plus lent
Temps de déchiffrement	Base	~1.5x plus lent	~2x plus lent

Observations :

• Les tailles de clés et de chiffrements augmentent avec le niveau de sécurité
• Les performances diminuent (temps d'exécution plus longs) avec l'augmentation du niveau de sécurité
• Le compromis est raisonnable : même Kyber-1024 reste pratique pour la plupart des applications

2. Défis d'intégration de Kyber dans TLS

L'intégration de Kyber dans TLS présente plusieurs défis :

• Taille des messages : Les clés publiques et messages chiffrés plus grands augmentent la taille des paquets TLS, ce qui peut affecter les performances sur des réseaux contraints et potentiellement fragmenter des paquets IP
• Compatibilité avec l'infrastructure existante :
  • Mise à jour des serveurs et clients pour supporter les nouveaux algorithmes
  • Adaptation des bibliothèques cryptographiques sous-jacentes
  • Modification des certificats X.509 pour supporter les nouveaux algorithmes
• Période de transition : Nécessité de supporter à la fois les algorithmes classiques et post-quantiques pendant une longue période
• Maturité des implémentations : Manque d'implémentations testées et durcies contre les attaques par canaux auxiliaires
• Complexité du déploiement :
  • Configuration des priorités d'algorithmes
  • Gestion des versions TLS
  • Tests d'interopérabilité

3. Modification pour une approche hybride

Voici comment le code pourrait être modifié pour implémenter une approche hybride combinant Kyber avec ECDH :

from pypqc import kyber
import time
import os
import cryptography.hazmat.primitives.asymmetric.ec as ec
from cryptography.hazmat.primitives.kdf.hkdf import HKDF
from cryptography.hazmat.primitives import hashes

def hybrid_kyber_ecdh_benchmark():
    # Tester les différents niveaux de sécurité
    security_levels = [1, 3, 5]  # Kyber512, Kyber768, Kyber1024
    
    results = {}
    
    for level in security_levels:
        print(f"Testing Hybrid Kyber+ECDH at security level {level}")
        start_time = time.time()
        
        # 1. Génération des clés Kyber
        kyber_key_gen_start = time.time()
        kyber_public_key, kyber_secret_key = kyber.keygen(level)
        kyber_key_gen_time = time.time() - kyber_key_gen_start
        
        # 2. Génération des clés ECDH (utiliser P-256 pour le niveau 1, P-384 pour le niveau 3, P-521 pour le niveau 5)
        curve = {
            1: ec.SECP256R1(),
            3: ec.SECP384R1(),
            5: ec.SECP521R1()
        }[level]
        
        ecdh_key_gen_start = time.time()
        ecdh_private_key = ec.generate_private_key(curve)
        ecdh_public_key = ecdh_private_key.public_key()
        ecdh_key_gen_time = time.time() - ecdh_key_gen_start
        
        # Message à chiffrer
        message = os.urandom(32)  # 256 bits
        
        # 3. Côté expéditeur
        encrypt_start = time.time()
        
        # 3.1 Générer une clé éphémère ECDH
        ecdh_ephemeral_private = ec.generate_private_key(curve)
        ecdh_ephemeral_public = ecdh_ephemeral_private.public_key()
        
        # 3.2 Calculer le secret partagé ECDH
        ecdh_shared_secret = ecdh_ephemeral_private.exchange(
            ec.ECDH(), ecdh_public_key
        )
        
        # 3.3 Chiffrer avec Kyber
        kyber_ciphertext, kyber_shared_key = kyber.encapsulate(kyber_public_key, level)
        
        # 3.4 Combiner les clés partagées de Kyber et ECDH
        # Utiliser HKDF pour dériver une clé hybride à partir des deux secrets
        combined_key = HKDF(
            algorithm=hashes.SHA256(),
            length=32,
            salt=None,
            info=b'KyberECDHHybrid'
        ).derive(kyber_shared_key + ecdh_shared_secret)
        
        # 3.5 Chiffrer le message avec la clé hybride (ici simplement XOR pour la simplicité)
        # Dans une implémentation réelle, on utiliserait AES-GCM ou ChaCha20-Poly1305
        encrypted_message = bytes(a ^ b for a, b in zip(message, combined_key))
        
        encrypt_time = time.time() - encrypt_start
        
        # 4. Côté destinataire
        decrypt_start = time.time()
        
        # 4.1 Décapsuler la clé Kyber
        kyber_decapsulated_key = kyber.decapsulate(kyber_secret_key, kyber_ciphertext, level)
        
        # 4.2 Calculer le secret partagé ECDH
        ecdh_shared_secret_recipient = ecdh_private_key.exchange(
            ec.ECDH(), ecdh_ephemeral_public
        )
        
        # 4.3 Recalculer la clé hybride
        combined_key_recipient = HKDF(
            algorithm=hashes.SHA256(),
            length=32,
            salt=None,
            info=b'KyberECDHHybrid'
        ).derive(kyber_decapsulated_key + ecdh_shared_secret_recipient)
        
        # 4.4 Déchiffrer le message
        decrypted_message = bytes(a ^ b for a, b in zip(encrypted_message, combined_key_recipient))
        
        decrypt_time = time.time() - decrypt_start
        
        # Vérifier que le déchiffrement fonctionne
        assert message == decrypted_message, "Decryption failed!"
        
        total_time = time.time() - start_time
        
        # Calculer la taille totale des éléments transmis
        transmission_size = (
            len(kyber_public_key) +  # Kyber public key
            len(kyber_ciphertext) +  # Kyber ciphertext
            len(ecdh_ephemeral_public.public_bytes()) +  # ECDH ephemeral public key
            len(encrypted_message)  # Encrypted message
        )
        
        # Collecter les résultats
        results[level] = {
            'kyber_pk_size': len(kyber_public_key),
            'kyber_sk_size': len(kyber_secret_key),
            'ecdh_pk_size': len(ecdh_public_key.public_bytes()),
            'ciphertext_size': len(kyber_ciphertext) + len(ecdh_ephemeral_public.public_bytes()) + len(encrypted_message),
            'kyber_key_gen_time': kyber_key_gen_time,
            'ecdh_key_gen_time': ecdh_key_gen_time,
            'encrypt_time': encrypt_time,
            'decrypt_time': decrypt_time,
            'total_time': total_time,
            'transmission_size': transmission_size
        }
    
    # Afficher les résultats
    print("\nHybrid Kyber+ECDH Performance:")
    print("-" * 100)
    print(f"{'Security Level':<15} {'Trans. Size':<12} {'Key Gen (ms)':<15} {'Encrypt (ms)':<15} {'Decrypt (ms)':<15}")
    print("-" * 100)
    
    for level, data in results.items():
        curve_name = {1: "P-256", 3: "P-384", 5: "P-521"}[level]
        print(f"Kyber-{512 * (2 if level == 5 else level)}+{curve_name}".ljust(15), end="")
        print(f"{data['transmission_size']:<12}", end="")
        print(f"{(data['kyber_key_gen_time'] + data['ecdh_key_gen_time']) * 1000:<15.2f}", end="")
        print(f"{data['encrypt_time'] * 1000:<15.2f}", end="")
        print(f"{data['decrypt_time'] * 1000:<15.2f}")

# Exécuter le benchmark
hybrid_kyber_ecdh_benchmark()
                    

Ce code illustre les améliorations suivantes pour une approche hybride :

1. Double échange de clés : Utilise à la fois Kyber (résistant au quantique) et ECDH (efficace classiquement)
2. Combinaison sécurisée des clés : Utilise HKDF pour combiner cryptographiquement les deux secrets partagés
3. Correspondance des niveaux de sécurité : Associe les courbes ECDH appropriées aux différents niveaux de Kyber
4. Sécurité renforcée : L'approche hybride garantit que même si l'un des deux algorithmes est compromis (par exemple, ECDH par un ordinateur quantique), la sécurité est maintenue par l'autre algorithme (Kyber)

Cette approche est similaire à ce qui est actuellement mis en œuvre dans TLS 1.3 avec les extensions PQ (par exemple dans OpenSSL, BoringSSL, etc.), où les échanges de clés classiques et post-quantiques sont combinés pour offrir une sécurité "belt-and-suspenders" pendant la période de transition.